System Dynamics 研究的究竟是什么？

与单纯的Dynamics（动力学）的含义不同，system dynamics 研究是的系统的动态特性，和 static system 相对应。要理解系统的动态特性，首先要从静态系统开始阐述。

静态系统

以电路系统为例，如果电路仅为一个电阻R，那么在受到施加在该电阻上的电压V时，电路上瞬时产生电流I，并有熟知的公式

$I = \frac{V}{R}$

此简单的系统我们称之为静态系统，因为其变化是瞬时的，当电阻上的电压变化时，电流也随之变化。

动态系统

假如在电路中引入动态元件电感器（或电容器），那么因为该元件的动态特性，当电路中的电源电压发生变化时，电路中的电流I将不是瞬时发生变化，而是有一个渐变的过程，该过程无法用简单的代数方程表示，而是需要用微分方程来表示：

$L\frac{dI}{dt} + RI(t) = v(t)$

其中 $v(t)$ 随时间变化的电源电压。

因此，System Dynamics研究的就是系统的动态特性，系统的某个条件发生变化时，系统在瞬时的变化是怎么样的，最终会达到什么样的状态（稳态）。在现实生活里，基本所有的系统都有自己的动态特性，但是在研究某个系统的时候，如果不关心其动态特性，可以将其化简为静态系统。（只关心条件变化所带来的最终结果，不关心条件变化后从当前状态到达最终状态中间的过程变化。）

举例

以直流电机为例，当将其简化为静态系统时，其输出力矩随着电压的变化而瞬时变化。

但在实际应用上，施加在直流电机上的电压发生变化时，其输出力矩并不是瞬时发生变化的，从初始位置到达新的位置需要一段时间，且变化的过程中伴随着震荡。

微分方程

当谈及动态系统的时候，一定涉及的概念便是微分方程，微分方程又可以分为free differential equtions和forced differential equations。

Free differential equations

$m\ddot{x}+c\dot{x}+x=0$

方程的微分方程的右边为0时即free differential equations。

该微分方程的通解为：

$x(t)=e^{-{\delta}t}(Acosw_dt+Bsinw_dt)$

在此不讨论具体如何求解微分方程，只说明该通解中各部分的含义：

${\delta}$ : 系统稳定性的指标，当 $-{\delta}<0$ 时，意味着系统是稳定的，因为随着时间 $t$ 的增加， $e^-{\delta}t$ 越来越小
$\omega_d$ ：该指标代表系统在变化过程中震荡的频率

Forced differential equaitons

可以看到，当方程组的右边不等于0时，该系统再是自由系统，因此需要使用Forced differential eqautions来描述。

此方程的解为：

$x(t) = x_h(t) + x_p(t)$

其中

$x_h(t)$ 是方程的通解，为 $m\ddot{x}+c\dot{x}+x=0$ 的解
$x_p(t)$ 是方程的特解，与 $F(t)$ 具有同样的形式

举例

求解：

$\ddot{x}+8\dot{x}+25x = 2t$

由原式可得：

$\lambda^2+8\lambda=25=0$

因此，有：

$\lambda_{1,2}=-4\pm3j$

所以有解的形式为：

$x(t)=e^{-4t}(Acos3t+Bsin3t)+at+b$

这意味着，当通解的部分随解时间增加而逐渐消失后，特解的部分仍然在起作用（稳态结果）。

References

Systems Dynamics and Control: Module 2 - Introduction to Modeling